Question

【題目】定圓,動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓相切，記圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng),與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且,當(dāng)的面積最小時(shí), 求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）軌跡的方程為；（2）直線的方程為或．

【解析】

試題（1）由已知條件得圓內(nèi)切于圓，即，∴點(diǎn)的軌跡為橢圓，且，∴，所以軌跡的方程可求；（2）分類討論，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得、，所以，由基本不等式求最值，即可求出直線的方程．

試題解析：（1）∵在圓內(nèi)，∴圓內(nèi)切于圓．

∵，∴點(diǎn)的軌跡為橢圓，且，∴

∴軌跡的方程為．

（2）①當(dāng)為長軸（或短軸）時(shí)，此時(shí)．

②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立方程得，∴．

將上式中的替換為，得．

．

∵，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積最小值是．

∵，∴面積最小值是，此時(shí)直線的方程為或．