Question

已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球（m≥3，n≥3），從乙盒中隨機抽取i（i=1，2）個球放入甲盒中．
（a）放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為ξ_i（i=1，2）；
（b）放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為p_i（i=1，2）．
則（　　）

• A、p₁＞p₂，E（ξ₁）＜E（ξ₂）
• B、p₁＜p₂，E（ξ₁）＞E（ξ₂）
• C、p₁＞p₂，E（ξ₁）＞E（ξ₂）
• D、p₁＜p₂，E（ξ₁）＜E（ξ₂）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統計

分析：首先，這兩次先后從甲盒和乙盒中拿球是相互獨立的，然后分兩種情況：即當ξ=1時，有可能從乙盒中拿出一個紅球放入甲盒，也可能是拿到一個藍球放入甲盒；ξ=2時，則從乙盒中拿出放入甲盒的球可能是兩藍球、一紅一藍、或者兩紅；最后利用概率公式及分布列知識求出P₁，P₂和E（ξ₁），E（ξ₂）進行比較即可．

解答： 解析：P1=

m

m+n

+

n

m+n

×

1

2

=

2m+n

2(m+n)

，P2=

C 2 m

C 2 m+n

×1+

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

×

2

3

+

C 2 n

C 2 m+n

×

1

3

，
P1-P2=

n(m+n-1)

6(m+n)(m+n-1)

＞0，所以P₁＞P₂；
由已知ξ₁的取值為1、2，ξ₂的取值為1、2、3，
所以，E(ξ1)=1×

n

m+n

+2×

m

m+n

=

2m+n

m+n

，E(ξ2)=3×

C 2 m

C 2 m+n

+2×

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

+1×

C 2 n

C 2 m+n

=

3m2+n2+4mn-3m-n

(m+n)(m+n-1)

，
E（ξ₁）-E（ξ₂）=

2m+n

m+n

-

3m2+n2+4mn-3m-n

(m+n)(m+n-1)

=-

m

m+n

＜0．
故選A

點評：正確理解ξ_i（i=1，2）的含義是解決本題的關鍵．此題也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．