Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）若，且對任意恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）3；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）對任意恒成立，等價于對任意恒成立，，利用導數求得，從而可求整數的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函數， 當時，，利用對數的運算結合，化簡即可得結論.

（Ⅰ），

函數的圖象在點處的切線方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，對任意恒成立，

即對任意恒成立．

令，則，

令，則，

所以函數在上單調遞增．

，

方程在上存在唯一實根，且滿足．

當時，，即，

當時，，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

，

，

故整數的最大值是3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函數，

當時，．

即．

整理，得．

．

即．

即．

．