Question

已知(

x

+

2

x

)n的展開式中第5項的系數與第3項的系數比為56：3，則該展開式中x²的系數 ______．

Answer 1

根據題意，(

x

+

2

x

)n的展開式為T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r（

2

x

）^r=C_n^r（2）^rx

7-3r

2

，
又有其展開式中第5項的系數與第3項的系數比為56：3，可得

C 4n ×24

C 2n ×22

=

56

3

，
即（n-2）（n-3）=56，
解可得，n=10，
則Tk+1=

C

k10

x

1

2

(10-k)-k×2k，
由

1

2

(10-k)-k=2得k=2，
從而C₁₀²×2²=180；
故答案為：180．