Question

【題目】的內角的對邊分別為，且．

（1）證明： 成等比數列；

（2）若角的平分線交于點，且，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用兩角和的余弦函數公式化簡已知等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得證．（2）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面積公式可得AD=2CD，從而可求AD=4，CD=2，由（1）可得：b2=36，利用角平分線的性質可得AB=2BC，即c=2a，從而可求a，c的值，進而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．

試題解析：.解法一:

（1）因為，

所以 ，

化簡可得，

由正弦定理得， ，故成等比數列.

（2）由題意，得，

又因為是角平分線，所以，即，

化簡得， ，即.

由（1）知， ，解得，

再由得， （為中邊上的高），

即，又因為，所以.

【注】利用角平分線定理得到同樣得分，

在中由余弦定理可得， ，

在中由余弦定理可得， ，

即，求得.

解法二：（1）同解法一.

（2）同解法一， .

在中由余弦定理可得， ，

在中由余弦定理可得， ，

即，求得.

解法三：

（1）同解法一.

（2）同解法二， .

在中由余弦定理可得， ，

由于，從而可得，

在中由余弦定理可得， ，求得，

在中由正弦定理可得， ，即.

【注】若求得的值后，在中應用正弦定理求得的，請類比得分.

解法四：

（1）同解法一.

（2）同解法一， .

在中由余弦定理得， ，

在中由余弦定理得， ，

因為，所以有，

故，

整理得， ，即.