Question

【題目】已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，且|AB|= p，求AB所在的直線方程．

Answer 1

【答案】解：拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F（ ，0）， 設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
若AB⊥Ox，則|AB|=2p＜ p，不合題意．
所以直線AB的斜率存在，設為k，
則直線AB的方程為y=k（x﹣ ），k≠0．
由 消去x，
整理得ky2﹣2py﹣kp2=0．
由韋達定理得，y1+y2= ，y1y2=﹣p2 ．
∴|AB|= = = =2p（1+ ）= p．
解得k=±2．
∴AB所在的直線方程為y=2（x﹣ ）或y=﹣2（x﹣ ）
【解析】設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），若AB⊥Ox，則|AB|=2p＜ p，不合題意．所以直線AB的斜率存在，設為k，則直線AB的方程為y=k（x﹣ ），k≠0．聯立拋物線方程，結合韋達定理和弦長公式，可得滿足條件的k值，進而得到答案．