【題目】如圖所示，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，
兩點分別在線段
，
上運動，且
.將三角形
沿
折起，使點
到達
的位置，且平面
平面
.
（1）判斷直線
與平面
的位置關系并證明；
（2）證明：的長度最短時，，分別為
和的中點；
（3）當的長度最短時，求平面
與平面
所成角（銳角）的余弦值.
【答案】（1）
與平面
平行，證明詳見解析；（2）詳見解析；（3）
.
【解析】
(1)分別在平面D1AE和平面BCE內，作MG//AE,交D1E于點G, NH//BC,交CE于點H,連接GH,則MG//NH.推導出四邊形MNHG是平行四邊形, 從而MN// GH.由此能求出MN與平面D1 CE平行；
(2) 推導出
,從而當
時，
, 此時M，N分別是A D1和BE的中點；
（3）以E為坐標原點，分別以EA, EC, ED，所在直線為x, y, z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面D1MN與平面EMN所成角(銳角)的余弦值.
（1）與平面平行.
證明如下：分別在平面
和平面
內作
交
于點
，
交
于點
，
連接
,
∵
，
∴
.
設
，
在
中，
，
則
，
∴
，
同理可求
，
∴
，
即四邊形
是平行四邊形.
∴
.
∵
，
，
∴
平面
.
（2）證明：∵平面
平面
，
，
∴
，
在
中，，
，
∴
.
當時，.此時
、
分別是
和
的中點.
（2）以
為坐標原點，分別以
、
、
所在直線為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意知，
，
，
，
，
，
，
.
∴
，
，
∴
，
，
設
是平面
的一個法向量，
由
可得
.取
，可得
.
設
是平面
的一個法向量，
由
可得
.取
，可得
.
∴
，
∴平面與平面所成角（銳角）的余弦值.
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【題目】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，橢圓的左，右焦點分別為F1，F2，點M為橢圓上的一個動點，△MF1F2面積的最大值為
，過橢圓外一點（m，0）（m＞a）且傾斜角為
的直線l交橢圓于C，D兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若
，求m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知空間中兩條直線
，
所成的角為
，
為空間中給定的一個定點，直線
過點且與直線和直線所成的角都是
，則下列選項正確的是（ ）
A.當
時，滿足題意的直線不存在
B.當
時，滿足題意的直線有且僅有1條
C.當
時，滿足題意的直線有且僅有2條
D.當
時，滿足題意的直線有且僅有3條
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電子公司新開發一電子產品，該電子產品的一個系統G有3個電子元件組成，各個電子元件能否正常工作的概率均為
，且每個電子元件能否正常工作相互獨立.若系統C中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為500元.
(1)求系統不需要維修的概率；
(2)該電子產品共由3個系統G組成，設E為電子產品需要維修的系統所需的費用，求
的分布列與期望;
(3)為提高G系統正常工作概率，在系統內增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為
，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則C可以正常工作，問:滿足什么條件時，可以提高整個G系統的正常工作概率?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面
平面
，
，四邊形為平行四邊形，
，
為線段
的中點，點
滿足
.
（Ⅰ）求證：直線
平面
；
（Ⅱ）求證：平面
平面
；
（Ⅲ）若平面
平面
，求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點處的切線記為l2，且l1∥l2．
（1）求l1，l2之間的距離；
（2）若存在x使不等式
成立，求實數m的取值范圍；
（3）對于函數f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實數x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數在x0處的偏差．求證：函數f（x）和g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．
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