Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記為l2，且l1∥l2．

（1）求l1，l2之間的距離；

（2）若存在x使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）對于函數(shù)f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)f（x）和g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩條切線，然后利用平行直線之間的距離公式求出求l1，l2之間的距離；

（2）利用分離參數(shù)法，求出h（x）=x-ex的最大值即可；

（3）根據(jù)偏差的定義，只需要證明的最小值都大于2．

（1）f′（x）=aex，g′（x）=，

y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，a），

y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0），

由題意得f′（0）=g′（a），即a=，

又∵a＞0，∴a=1．

∴f（x）=ex，g（x）=lnx，

∴函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線方程分別為：

x-y+1=0，x-y-1=0，

∴兩平行切線間的距離為.

（2）由＞，得＞，

故m＜x-ex在x∈[0，+∞）有解，

令h（x）=x-ex，則m＜h（x）max，

當(dāng)x=0時(shí)，m＜0；

當(dāng)x＞0時(shí)，∵h′（x）=1-（+）ex，

∵x＞0，

∴+≥2=，ex＞1，

∴（+）ex＞，

故h′（x）＜0，

即h（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，

故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）．

（3）解法一：

∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差為：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），

∴F′（x）=ex-，設(shè)x=t為F′（x）=0的解，

則當(dāng)x∈（0，t），F′（x）＜0；當(dāng)x∈（t，+∞），F′（x）＞0，

∴F（x）在（0，t）單調(diào)遞減，在（t，+∞）單調(diào)遞增，

∴F（x）min=et-lnt=et-ln=et+t，

∵F′（1）=e-1＞0，F′（）=-2＜0，∴＜t＜1，

故F（x）min=et+t=+＞+=2，

即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

解法二：

由于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），

令F1（x）=ex-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），

∵F1′（x）=ex-1，F2′（x）=1-=，

∴F1（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，F2（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，

∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1，

∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2，

即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.