Question

【題目】如果函數滿足且是它的零點，則函數是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.

（1）求出b、c并求出函數的單調區間；

（2）若對于任意正數x，都有恒成立，求參數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，單減區間為0，1），單增區間為；（2）

【解析】

（1）根據定義得方程恒成立，解得b、c，再根據復合函數單調性確定函數的單調區間；

（2）先化簡不等式，再求導數，根據導函數符號分類討論,利用導數證明恒成立,再說明不恒成立.

（1）因為是“有趣的”，所以

即

的定義域為，單減區間為（0，1），單增區間為.

（2）參數的取值范圍為.

引理：不等式對任意正數y都成立。證明如下：

由恒成立，得恒成立。.

我們構造函數。注意到。

構造，注意到，且

我們以下分兩部分進行說明：

第一部分：時，恒成立。

時，由引理得：，知道，

從而當時有，時有，所以在（0，1）上為負，在上為正。

從而在上單減，在上單增，最小值為。

從而

第二部分：時，不滿足條件。

構造函數。

（ⅰ）若，則對于任意，都有。

（ⅱ）若，則對于任意，，

而，所以在（0，1）上有唯一零點，同時在，時都有。

于是只要，無論是（ⅰ）還是（ⅱ），我們總能找到一個實數，在時都有。

這樣在時，都有，結合，所以時，從而在時有。，所以時，不滿足要求。