Question

【題目】已知函數，（，）．

（1）若，求的極值和單調區間；

（2）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）有極小值1，函數的單調減區間為，單調增區間為；（2）.

【解析】

（1）寫出函數解析式，求導，得當x變化時，，的變化情況表，從而求出極值與單調區間；

（2）將存在性問題轉化為最值問題，得在區間上的最小值小于0，分類討論，根據導數判斷函數的單調性，求出最小值，再求參數的范圍．

（1）∵，∴（），∴

令，得

當x變化時，，的變化情況如下表：

x		1
	-	0	+
	減	極小值	增

∴當時，函數有極小值1；

函數的單調減區間為，單調增區間為；

（2）若在區間上至少存在一點，使成立，

即在區間上的最小值小于0，

，（）令，得

①當時，

∴函數在區間上單調遞減

∴函數在區間上的最小值為

∴由得，即

②當時，

（ⅰ）當即時，

∴函數在區間上單調遞減

∴函數在區間上的最小值為

顯然，這與在區間上的最小值小于0不符

（ⅱ）當即時

當x變化時，，的變化情況如下表：

x
	－	0	+
	減	極小值	增

∴函數在區間上的最小值為

∴由，得，即

∴綜上述，實數a的取值范圍是．