Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；

（2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）當(dāng)，且時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值為；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，代入計(jì)算得到答案.

（2）求導(dǎo)得到，的變化情況表，得到單調(diào)區(qū)間和極值.

（3）證明等價(jià)于，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算最小值得到證明.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以.

又曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，

所以，即.

（2）令，得，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	+	0	-
		極大值

由表可知：的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

所以在處取得極大值，的極大值為.

（3）當(dāng)時(shí)，.由于，要證，

只需證明，令，則.

因?yàn)?/span>，所以，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即成立．

故當(dāng)時(shí)，有，即.