Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求曲線與曲線的公切線的方程；

（2）設函數的兩個極值點為，求證：關于的方程有唯一解．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求兩條曲線的公切線，分別求出各自的切線，然后兩條切線為同一條直線，結合兩個方程求解；

（2）要證明關于的方程有唯一解，只要證明即可，由于當時，單調遞增，不可能有兩個零點，故不可能有兩個極值點，故，利用得，又，接下來只要證明，即，令，則只要證明即可，用導數即可證明．

（1）曲線在切點處的切線方程為

，即，

曲線在切點處的切線方程為

，即，

由曲線與曲線存在公切線，

得，得，即．

令，則，

，解得，∴在上單調遞增，

，解得，∴在上單調遞減，

又，∴，則，

故公切線方程為．

（2）要證明關于的方程有唯一解，

只要證明，

先證明：．

∵有兩個極值點，

∴有兩個不同的零點，

令，則，

當時，恒成立，∴單調遞增，不可能有兩個零點；

當時，，則，∴在上單調遞增，

，則，∴在上單調遞減，

又時，，時，，

∴，得，∴．

易知，

由，得，，

∴．

下面再證明：．

，

令，則只需證，

令，

則，

∴，得．

∴有唯一解．