Question

【題目】已知為坐標原點，圓：，定點，點是圓上一動點，線段的垂直平分線交圓的半徑于點，點的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）不垂直于軸且不過點的直線與曲線相交于兩點，若直線、的斜率之和為0，則動直線是否一定經過一定點？若過一定點，則求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）由垂直平分線性質與橢圓的定義可知點Q的軌跡為橢圓，長軸長等于半徑,點F、點N分別為左右焦點，由橢圓參數的性質可求得橢圓方程；

（Ⅱ）由題意假設直線l的方程與交點坐標，與橢圓聯立，由斜率公式，表示出兩直線斜率，由斜率之和為0列式可求得參數的等量關系，代入直線，即可求得恒過某點.

（Ⅰ）由題意可知，又，由橢圓的定義知動點的軌跡是為焦點的橢圓，故，即所求橢圓的方程為

（Ⅱ）設直線的方程為，點，，聯立曲線與直線的方程得

，

由已知，直線、的斜率之和為，

，

即有：，化簡得：

直線的方程為，所以直線過過定點．