Question

【題目】一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，分別是的中點.

（I）求證：平面；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

試題分析：（I）由直觀圖及三視圖可知，該幾何體為直三棱柱，底面為直角三角形，因此兩兩垂直，故以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，證明即可；（II）求平面的法向量，平面的法向量，然后計算出的值，通過觀察圖形確定二面角的余弦值與關系即可.

試題解析：（I）證明：由三視圖可知，在這個多面體的直觀圖中，，且 ……………………………1分

因此兩兩垂直，故以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系， ……………………………2分

則由已知可得：，

故，

……………………………3分

即 4分

即,

而平面，平面，

平面.……………………………6分

（II）解：設是平面的一個法向量，則

，，，

，

令，可得，

，……………………………2分

由已知可得平面，

是平面的一個法向量，…………………………10分

設二面角的平面角為，則有：，

所求二面角的余弦值是.…………………………12分