Question

【題目】如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE=4．如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B﹣DEG的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AC的中點(diǎn)P，連接DP，因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP= ，∠DCP=30°，∠PDC=60°，

又點(diǎn)E在線段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD

（2）解：若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，G為EC的中點(diǎn)，此時(shí)AE=EG=GC=2，

因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以BD= ，DC= ，

所以B到DC的距離h= = = ，

因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，

所以B到DC的距離h就是三棱錐B﹣DEG的高．

三棱錐B﹣DEG的體積：V= = = =

【解析】（1）取AC的中點(diǎn)P，連接DP，證明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明DE⊥平面BCD；（2）說明G為EC的中點(diǎn)，求出B到DC的距離h，說明到DC的距離h就是三棱錐B﹣DEG的高．利用 ， 即可求三棱錐B﹣DEG的體積．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案．