Question

【題目】已知函數y=f（x）（x＞0）滿足：f（xy）=f（x）+f（y），當x＜1時f（x）＞0，且f（ ）=1；
（1）證明：y=f（x）是（x＞0）上的減函數；
（2）解不等式f（x﹣3）＞f（ ）﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設0＜x1＜x2，則0＜ ＜1，

由題意f（x1）﹣f（x2）=f（ x2）﹣f（x2）=f（ ）+f（x2）﹣f（x2）=f（ ）＞0，

則f（x1）＞f（x2），

∴y=f（x）是（x＞0）上的減函數

（2）解：由函數的定義域知： ，解得x＞3；

又∵f（ ）=1，

∴f（ ）=f（ × ）=f（ ）+f（ ）=1+1=2，

由f（x﹣3）＞f（ ）﹣2．得f（x﹣3）+2＞f（ ），

∴f（x﹣3）+f（ ）＞f（ ），f（ ）＞f（ ），

由（2）得 ＜ ，解得﹣1＜x＜4，

綜上知3＜x＜4為所求

【解析】1、本題考查的是函數單調性的定義。設0＜x1＜x2，則0＜ x1 x2 ＜1，由題意f（x1）﹣f（x2）=f（ x2）﹣f（x2）=f（ ）+f（x2）﹣f（x2）=f（ ）＞0，則f（x1）＞f（x2），即y=f（x）是（x＞0）上的減函數

2、由題意可得∵f （）=1，∴f（ ）=f（ × ）=f（ ）+f（ ）=1+1=2，由f（x﹣3）＞f（ ）﹣2．得f（x﹣3）+2＞f（ ），

∴f（x﹣3）+f（ ）＞f（ ），f（ ）＞f（ ），由（2）得 ＜ ，解得﹣1＜x< 4.