Question

已知實數m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，則

m2

m+2

+

n2

n+1

的最小值為（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  4

  15

• C、

  1

  8

• D、

  1

  3

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,基本不等式

專題：導數的綜合應用

分析：由m≥0，n≥0，且m+n=1，可得n=1-m，（0≤m≤1）．代入

m2

m+2

+

n2

n+1

，再利用導數研究其單調性極值即可．

解答：解：∵m≥0，n≥0，且m+n=1，∴n=1-m，（0≤m≤1）．
∴f（m）=

m2

m+2

+

n2

n+1

=

m2

m+2

+

(1-m)2

2-m

=

4

m+2

+

1

2-m

-2．
則f′（m）=

(6-m)(3m-2)

(m2-4)2

，
令f′（m）=0，0≤m≤1，解得m=

2

3

．
當0≤m＜

2

3

時，f′（m）＜0；當

2

3

＜m≤1時，f′（m）＞0．
∴當m=

2

3

時，f（m）取得極小值即最小值，f(

2

3

)=

4

2 3 +2

+

1

2- 2 3

-2=

1

4

．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，屬于中檔題．