Question

【題目】以坐標原點O為極點，O軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2（sinθ+cosθ+ ）．
（1）寫出曲線C的參數方程；
（2）在曲線C上任取一點P，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，求矩形OAPB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．

故曲線C的參數方程 （θ為參數）

（2）解：由（1）可設點P的坐標為（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），

則矩形OAPB的面積為S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|

令 ，t2=1+2sinθcosθ， ，

故當 時，

【解析】（1）由極坐標化為標準方程，再寫出參數方程即可，（2）可設點P的坐標為（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面積為S，再設t=sinθ+cosθ，根據二次函數的性質即可求出答案．