已知橢圓
的中心在坐標原點，右準線為
，離心率為
．若直線
與橢圓交于不同的兩點
、
，以線段
為直徑作圓
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若圓與
軸相切，求圓被直線
截得的線段長.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）先根據題中的條件確定
、
的值，然后利用
求出
的值，從而確定橢圓的方程；（2）先確定點的坐標，求出圓的方程，然后利用點（圓心）到直線的距離求出弦心距，最后利用勾股定理求出直線截圓所得的弦長.
試題解析：（1）設橢圓的方程為
，由題意知
，
，解得
，
則
，
，故橢圓的標準方程為 5分
（2）由題意可知，點為線段的中點，且位于
軸正半軸，
又圓與軸相切，故點的坐標為
，
不妨設點位于第一象限，因為
，所以
， 7分
代入橢圓的方程，可得
，因為
，解得
， 10分
所以圓的圓心為
，半徑為
，其方程為
12分
因為圓心到直線的距離
14分
故圓被直線截得的線段長為
16分
考點：橢圓的方程、點到直線的距離、勾股定理
長江作業本同步練習冊系列答案
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一課四練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F2，且｜F1F2｜＝2，點P（1，
）在橢圓C上.
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線
：
與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且
，
，四邊形
面積S的求最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
方程為
，過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為
.
(1)求橢圓方程.
(2)已知
為橢圓的左右兩個頂點，
為橢圓在第一象限內的一點，
為過點
且垂直
軸的直線，點
為直線
與直線的交點，點
為以
為直徑的圓與直線
的一個交點，求證：
三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，
、
分別是橢圓
的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于
、
兩點，其中在第一象限．過作
軸的垂線，垂足為
．連接
，并延長交橢圓于點
．設直線
的斜率為
．
（Ⅰ）當直線平分線段
時，求的值；
（Ⅱ）當
時，求點到直線
的距離；
（Ⅲ）對任意
，求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，過拋物線
的對稱軸上任一點
作直線與拋物線交于
、
兩點，點Q是點P關于原點的對稱點.
（1）設
，證明：
；
（2）設直線AB的方程是
，過、兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
為拋物線
的焦點，拋物線上點
滿足
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）
點的坐標為(
,
)，過點F作斜率為
的直線與拋物線交于
、
兩點，、兩點的橫坐標均不為
，連結
、
并延長交拋物線于
、
兩點，設直線
的斜率為
,問
是否為定值，若是求出該定值，若不是說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
經過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
．點
、
在軌跡上，且關于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點
、
．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且△
的面積為20，求直線
的方程．
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、
，若動點
滿足
．
的方程；
，使點
的距離最�。�