Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是BC的中點，BC=BB₁．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面 AB₁D；
（Ⅱ）求異面直線A₁C與B₁D所成焦的余弦值；
（Ⅲ）若M為棱CC₁的中點，求證：MB⊥AB₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明：連結A₁B，交AB₁與O，連結OD，O，D均為中點，推斷出A₁C∥OD，
進而根據線面平行的判定定理得出A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）利用A₁C∥OD，推斷出∠ODB₁為異面直線A₁C與BD所成角，令正三棱柱的棱長為1，則DB₁，OB₁，OD均可求得，利用余弦定理求得cos∠ODB₁即可得到答案．
（Ⅲ）：依據在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，推斷出四邊形BCC₁B₁是正方形，通過M為CC₁的中點，D是BC的中點，推斷出△B₁BD≌△BCM，得出∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，通過∠BB₁D+∠BDB₁=

π

2

求得∠CBM+∠BDB₁=

π

2

，進而判斷出BM⊥B₁D，通過△ABC是正三角形，D是BC的中點，推斷出AD⊥BC，利用線面垂直的判定定理推斷出AD⊥平面BB₁C₁C，進而根據線面垂直的性質求得AD⊥BM，進而推斷出BM⊥平面AB₁D，利用線面垂直的性質可推斷出MB⊥AB₁．

解答： （Ⅰ）證明：連結A₁B，交AB₁與O，連結OD，
∵O，D均為中點，
∴A₁C∥OD，
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）∵A₁C∥OD，
∴∠ODB₁為異面直線A₁C與BD所成角，
令正三棱柱的棱長為1，則DB₁=

5

2

，OB₁=

2

2

，OD=

1

2

AC=

2

2

，
在△ODB₁中，cos∠ODB₁=

O B 2 1 +D B 2 1 -OD2

2OB1•DB1

=

10

4

，
∴異面直線A₁C與B₁D所成焦的余弦值為

10

4

．
（Ⅲ）證明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
∴四邊形BCC₁B₁是正方形，
∵M為CC₁的中點，D是BC的中點，
∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，
∵∠BB₁D+∠BDB₁=

π

2

∴∠CBM+∠BDB₁=

π

2

，
∴BM⊥B₁D，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BM?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM，
∵AD∩B₁D，
∴BM⊥平面AB₁D，
∵AB₁?平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．

點評：本題主要考查了線面平行，線面垂直的性質和判定定理．立體幾何在求二面角的時候，常轉化為平面幾何的問題易于解決．