Question

如圖，在三棱錐中，底面，，,,點，分別在棱上，且
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當為的中點時，求與平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）見解析    （Ⅱ）        （Ⅲ）存在，理由見解析

本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE//BC，∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，∴與平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.