Question

【題目】已知雙曲線的漸近線方程為，一個焦點為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上的任意一點，分別作這兩條漸近線的平行線與這兩條漸近線得到四邊形，證明四邊形的面積是一個定值；

（3）設(shè)直線與在第一象限內(nèi)與漸近線所圍成的三角形繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）由焦點坐標(biāo)和漸近線方程求得,進而求得雙曲線方程；

（2）由題可知漸近線互相垂直,則四邊形為矩形,則,利用點到直線距離公式求解即可；

（3）三角形繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個以為半徑,為高的圓錐,進而求解即可

解：（1）設(shè)雙曲線方程為,

,漸近線方程為,

,且,

,

雙曲線的方程為

（2）漸近線方程為,

兩條漸近線互相垂直,

四邊形為矩形,

設(shè),則,

,

四邊形的面積是一個定值

（3）設(shè)在第一象限內(nèi)與漸近線的交點N的橫坐標(biāo),三角形繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個以為半徑,為高的圓錐,

因為,所以體積等于