Question

【題目】把一塊邊長為的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線（虛線與正六邊形的對應邊垂直）剪去六個全等的四邊形（陰影部分），折起六個矩形焊接制成一個正六棱柱形的無蓋容器（焊接損耗忽略），設容器的底面邊長為.

（1）若，且該容器的表面積為時，在該容器內注入水，水深為，若將一根長度為的玻璃棒（粗細忽略）放入容器內，一端置于處，另一端置于側棱上，忽略鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長度；

（2）求該容器的底面邊長的范圍，使得該容器的體積始終不大于.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，表示出容器的高，從而可以表示出容器的底面積和側面積，根據容器的表面積為，得到關于的方程，從而得到的值，設玻璃棒在上的交點為，玻璃棒與水面交點為，過作交于，根據得到的值；

（2）表示出容器的體積，根據對恒成立，利用導數求出的最大值，從而得到的范圍.

解：（1）由題意，則，設該容器的高為，則.

當時，容器底面積，

側面積，

所以容器表面積，整理得，

得或（舍）.

當玻璃棒一個端點置于處，另一端置于側棱上時，

如圖，設玻璃棒在上的交點為，玻璃棒與水面交點為.

因為為正六棱柱，所以四邊形為矩形，

在平面中，過作交于，如圖所示，

因為，，則，因為，

所以即，

所以.

（2）設該容器的體積為，.

因為該容器的體積始終不大于，

所以對恒成立.

即對恒成立，

令，，

令得，則隨變化的表格如下：

	+	0	-
	增	最大值	減

.

所以，得，得.

答：該容器底面邊長滿足時，容器的體積始終不大于.