Question

已知函數，（其中）.
（1）求的單調區間；
（2）若函數在區間上為增函數，求的取值范圍；
（3）設函數，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的單調增區間為，單調減區間為.
（2）
（3））

試題分析：解：（1），，
，故.
當時，；當時，.
的單調增區間為，單調減區間為.……3分
（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數開口向上，且對稱軸為，故在上單調遞增，因此只需使，解得；
易知當時，且不恒為0.
故.……7分
（3）當時，，，故在上，即函數在上單調遞增，.……9分
而“存在，對任意的，總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”.
而在上的最大值為中的最大者，記為.
所以有，，
.
故實數的取值范圍為.……13分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于中檔題。