Question

已知函數(shù)=，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）若關(guān)于的不等式對(duì)一切（其中）都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)，使？若不存在，說明理由；若存在，求取值的范圍

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（），單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

試題分析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014301365482.png" style="vertical-align:middle;" />，，令，得

	（）
	＋		＿
	增		減

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（），單調(diào)遞減區(qū)間是  3分
（２）∵不等式對(duì)一切（其中）都成立，
∴對(duì)一切（其中）都成立 即時(shí)，
∵
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，＝＝
②時(shí)，在上單調(diào)遞減，＝＝
③，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
＝＝
綜上，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)， 9分
（３）存在  10分
即，
＝在上有兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值相等
∵在（）單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，數(shù)形結(jié)合知
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間通常利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)解決，第二問中將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這是常用的轉(zhuǎn)化思路，但要注意分情況討論得到不同的最值，第三問對(duì)于條件指數(shù)式將其轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式從而和已知函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，這種轉(zhuǎn)化學(xué)生可能不易想到