Question

17．設函數f（x）=ax²lnx-（x-1）（x＞0），曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=0．
（1）求證：當x≥1時，f（x）≥（x-1）²； 
（2）若當x≥1時，f（x）≥m（x-1）²恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a=1，得到函數解析式，構造函數g（x）=x²lnx+x-x²，（x≥1）．利用導數可得函數在[1，+∞）上為增函數，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x-1）²； 
（2）設h（x）=x²lnx-x-m（x-1）²+1，求其導函數，結合（1）放縮可得h′（x）≥3（x-1）-2m（x-1）=（x-1）（3-2m）．然后對m分類討論求解．

解答 （1）證明：由f（x）=ax²lnx-（x-1），得f′（x）=ax²lnx-（x-1）=2axlnx+ax-1．
∵曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=0，
∴a-1=0，得a=1．
則f（x）=x²lnx-x+1．
設g（x）=x²lnx+x-x²，（x≥1）．
g′（x）=2xlnx-x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，
∴g′（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴g′（x）≥g′（1）=0，則g（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x-1）²； 
（2）解：設h（x）=x²lnx-x-m（x-1）²+1，h′（x）=2xlnx+x-2m（x-1）-1，
由（1）知，x²lnx≥（x-1）²+x-1=x（x-1），
∴xlnx≥x-1，則h′（x）≥3（x-1）-2m（x-1）=（x-1）（3-2m）．
①當3-2m≥0，即m$≤\frac{3}{2}$時，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（1）=0成立；
②當3-2m＜0，即m＞$\frac{3}{2}$時，
h′（x）=2xlnx+（1-2m）（x-1），h″（x）=2lnx+3-2m．
令h″（x）=0，得${x}_{0}={e}^{\frac{2m-3}{2}}-2$＞1，
∴當x∈[1，x₀）時，h′（x）＜h′（1）=0，
∴h（x）在[1，x₀）上單調遞減，則h（x）＜h（1）=0，不合題意．
綜上，m$≤\frac{3}{2}$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用得到研究函數的單調性，對導函數進一步求導是關鍵，是中檔題．