Question

【題目】設函數 ．
（Ⅰ）若 ，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定義域為x∈（0，+∞）． 當 時， 且f'（1）=0．
令h（x）=﹣x+1﹣lnx，則 ，
故h（x）在定義域上是減函數，
注意到h（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，h（x）＞h（1）=0，此時f'（x）＞0；
當x∈（1，+∞）時，h（x）＜h（1）=0，此時f'（x）＜0．
∴f（x）的極大值為f（1）=0，無極小值．
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，f′（x）= ≥0，
故2a≥ ，
令 ，
∴ ，
由g'（x）＞0得x∈（0，e2），
由g'（x）＜0得x∈（e2 ， +∞），
故g（x）的最大值為 ，
∴2a≥ ，a≥ e﹣2
【解析】（Ⅰ）求出函數到底是，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）問題轉化為2a≥ ，令 ，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．