Question

【題目】已知函數.

（1）討論極值點的個數；

（2）若有兩個極值點，，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，有兩個極值點；

當時，沒有極值點.

（2）

【解析】

（1）根據的根的情況，對的值進行討論，從而得出極值點的個數；

（2）由（1）得，借助此等式將不等式中的進行換元，構造出新函數，研究其性質，得出的取值范圍.

（1）由，

得.

令，得，

即，

令，則，且，

由得.

當時，，在單調遞增；

當時，，在單調遞減.

所以，，

且當時，；當時，.

所以，當，

方程有兩解，不妨設為

故當時，，故單調遞減，

當時，，故單調遞增，

當時，，故單調遞減，

即時，有兩個極值點；

當，恒成立，故單調遞減，

即時，沒有極值點.

（2）不妨設，

由（1）知，，

則，

兩邊取對數，所以，

所以，

即.

令，，

則，.

因為，

即，

所以，

即，

設，則，

且.

易知.記，則，

且，

考查函數，.

①當時，，

則，即，

所以在上單調遞減，

所以當時，，

所以當時符合題意.

②當時，，

有兩個不同零點，，且，，

不妨設，則，

當時，，則，

所以在上單調遞增，

故存在，使得，

所以，當時，不符合題意，

綜上，的取值范圍是.