Question

【題目】對于集合,,,,定義.集合中的元素個數記為.規定：若集合滿足,則稱集合具有性質.

(1)已知集合,,寫出,的值；

(2)已知集合,其中,證明：有性質；

(3)已知集合,有性質,且求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)證明過程見解析； (3) .

【解析】

(1)利用定義,通過計算可以求出,的值；

(2)可以知道集合中的元素組成首項為,公比為的等比數列,只要證明這個等比數列中的任意兩項(包括本身與本身)的和不在這個數列中即可.

(3) 根據,有性質了,可以知道集合中元素的性質,這樣可以求出的最小值.

(1) 根據定義可得：,.

所以

(2) 數列的通項公式為：.

若存在成立，則,因此有,即有.

等式的左邊是2的倍數,右邊是3的倍數,故等式不成立,因此等比數列中的任意兩項(包括本身與本身)的和不在這個數列中

所以中的元素的個數為：,即

,所以有性質；

(3) 集合具有性質,所以集合中的任意兩個元素的和都不在該集合中,也就是集合中的任意兩個元素的和都不相等,對于任意的有,也就是任意兩個元素的差的絕對值不相等.

設,所以

集合具有性質 ,

集合,有性質,且

(當且僅當時,取等號).

所以的最小值為.