Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側面BCC1B1為正方形，A1B1⊥B1C1．設A1C與AC1交于點D，B1C與BC1交于點E．

求證：（1）DE∥平面ABB1A1；

（2）BC1⊥平面A1B1C．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）利用三角形中位線的性質證明DE∥AB，即可證明DE∥平面ABB1A1；

（2）因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,進而BB1⊥A1B1,證得A1B1⊥平面BCC1B1，進而A1B1⊥BC1，又因為側面BCC1B1為正方形，所以BC1⊥B1C．進一步證明平面BC1⊥平面A1B1C即可．

（1）因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱， 所以側面ACC1 A1為平行四邊形．

又A1C與AC1交于點D，所以D為AC1的中點，

同理，E為BC1的中點．所以DE∥AB． 又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，

所以DE∥平面ABB1A1．

（2）因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．

又因為A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1． 又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．

又因為BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因為側面BCC1B1為正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，

所以BC1⊥平面A1B1C．