Question

【題目】四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，是等邊三角形，為的中點，.

（1）求證：；

（2）若在線段上，且，能否在棱上找到一點，使平面平面？若存在，求四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接PF，BD由三線合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；

（2）先證明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行線，根據相似找到G，再利用等積轉化求體積．

連接PF，BD,

∵是等邊三角形，F為AD的中點，

∴PF⊥AD，

∵底面ABCD是菱形，，

∴△ABD是等邊三角形，∵F為AD的中點，

∴BF⊥AD，

又PF，BF平面PBF，PF∩BF＝F，

∴AD⊥平面PBF，∵PB平面PBF，

∴AD⊥PB．

（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD平面PAD，

∴BF⊥平面PAD，又BF平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PF⊥平面ABCD，

連接FC交DE于H,則△HEC與△HDF相似，又，∴CH=CF，

∴在△PFC中,過H作GHPF交PC于G，則GH⊥平面ABCD，又GH面GED，則面GED⊥平面ABCD，

此時CG=CP,

∴四面體的體積．

所以存在G滿足CG=CP, 使平面平面，且.