Question

【題目】如圖，菱形的對角線與相交于點，平面，四邊形為平行四邊形.

（1）求證：平面平面；

（2）若，，點在線段上，且，求平面與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據條件先證得，再由∥得，，于是平面，進而可得結論成立．（2）由題意得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再求出兩法向量的夾角的余弦值，進而可得所求正弦值．

（1）證明：∵四邊形為菱形，

∴．

∵平面，平面，

∴．

又四邊形為平行四邊形，

∴∥，

∴，，

∵，

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

（2）∵平面，

∴，.

∵，，

∴，

∴四邊形為正方形．

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，

∴，，，，

，

∵，

∴，

設平面的法向量為，

則，令，得．

同理可求得平面的一個法向量．

∴,

∴，

∴平面與平面所成角的正弦值為．