Question

【題目】已知M，N是平面兩側的點，三棱錐所有棱長是2，，，如圖．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取線段中點D，分別連結，由平面幾何的知識、線面垂直的判定平面，平面，進而可得平面與平面重合，再由平面幾何的知識可得四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定即可得證；

（2）取線段的中點O，連結，建立空間直角坐標系，求出各點坐標，求出平面的一個法向量、平面的一個法向量，再由即可得解.

（1）證明：取線段中點D，分別連結，

由條件得，，

，，，

與是平面內兩相交直線，

與是平面內兩相交直線，

平面，平面，

平面與平面重合，

，，

四邊形是平行四邊形，即．

平面，平面，

平面；

（2）取線段的中點O，連結，

由（1）知，平面，，，

，，，

又，平面，、、兩兩垂直，

以過O平行的直線為x軸，分別以直線為y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，

，，

設平面的一個法向量，

，不妨取，得，

又平面的一個法向量，

，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦為．