Question

【題目】已知函數的圖象與直線相切.

（1）求實數的值；

（2）函數，，若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）由，設切點為， 根據條件可得，，兩式聯立可得，設，討論出函數的單調性，從而得出方程的根為，進而求出參數的值.
（2）對任意的，恒成立,即，令，則原問題等價于，討論出函數的單調性，得出其最大值即可.

解：（1）設切點為，

所以函數的圖象在點處的切線的斜率為

又

消得，令，得，

當時，，所以在區間單調遞增，且，

又因為當時，，所以.

則，所以.

（2）即

即即.

令，則原問題等價于

，

令，則，

所以函數在上單調遞增，

因為，，所以存在，使得，

所以當時，，；當時，，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

由，得，即，所以

所以，

所以，故的取值范圍為.