Question

已知.
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）設(shè)，證明：有最大值，且.

Answer 1

（1）0；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的綜合解題能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)， 對(duì)求導(dǎo)，由于單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值；第二問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，設(shè)分子為再求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的定義判斷在上有零點(diǎn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，得出所證結(jié)論.
試題解析： （1）．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以的最大值為．      4分
（2），．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．     7分
又，，，
所以在有一零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．     10分
由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此有最大值，且．      12分