Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）直線上是否存在一點，使得平面，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）.（3）存在，.

【解析】

（1）根據直角梯形可得，再根據即可得出平面，于是平面平面；

（2）為所求二面角的平面角，利用余弦定理計算；

（3）連接交于，過作，可得平面，利用相似三角形即可得出的長.

（1）證明：四邊形是直角梯形，，

∴，，

∵平面，平面，

∴，又平面，

∴平面，又平面，

∴平面平面.

（2）由（1）可知平面，

∴，，

∴為二面角的平面角，

∵，，

∴，

∴.

∴二面角的余弦值為.

(3)連接交于，過作交于，連接，.

則平面.

∵，∴，

又，∴，

∴.

所以直線上是否存在一點，使得平面，且.