Question

【題目】已知點A是雙曲線的右頂點，若存在過點的直線與雙曲線的漸近線交于一點M，使得是以點M為直角頂點的直角三角形，則雙曲線的離心率（ ）

A.存在最大值B.存在最大值

C.存在最小值D.存在最小值

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據題意，寫出其右頂點的坐標，寫出雙曲線的漸近線方程，取，設出點M的坐標，從而得到，，根據題意可得，從而得到，進一步整理得，根據方程有解，利用判別式大于等于零，求得，進一步求得其離心率的范圍，得到結果.

雙曲線的右頂點，

雙曲線的漸近線方程為，

不妨取，

設，則，.

若存在過的直線與雙曲線的漸近線交于一點，

使得是以為直角頂點的直角三角形，

則，即，

整理可得，

由題意可知此方程必有解，

則判別式，得，

即，解得，

所以離心率存在最大值，

故選B.