Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（Q不與重合）.設(shè)的外心為G，求證為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)長(zhǎng)軸及橢圓過(guò)點(diǎn)即可求出；

（2）由題意設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓方程可求，求出外接圓圓心，計(jì)算，化簡(jiǎn)即可證明為定值.

（1）由題意知，

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，解得，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，

代入橢圓方程得.

設(shè)，則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

因?yàn)?/span>G是的外心，所以G是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，

的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以，

所以，所以為定值，定值為4.