Question

【題目】已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設點為中點，點為中點，點為上一點，且．

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）連接交于點，連接，通過證，并說明平面，來證明平面

（2）采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，分別表示出對應的點坐標，設平面的一個法向量為，結合直線對應的和法向量，利用向量夾角的余弦公式進行求解即可

證明：如圖，

連接交于點，連接，點為的中點，點為的中點，

點為的重心，則，，，

又平面，平面，平面；

，，，，

，，可得，又，

則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，．

設平面的一個法向量為，由，

取，得．設直線與平面所成角為，

則．直線與平面所成角的正弦值為．