Question

已知圓C與兩圓x²+(y+4)²=1,x²+(y-2)²=1外切,圓C的圓心軌跡方程為L,設L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n.
(1)求圓C的圓心軌跡L的方程.
(2)求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程.
(3)在(2)的條件下,試探究軌跡Q上是否存在點B(x₁,y₁),使得過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于.若存在,請求出點B的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) y=-1  (2) x²=4y   (3) 存在 點B的坐標為(2,1)或(-2,1)，理由見解析

(1)兩圓的半徑都為1,兩圓的圓心分別為C₁(0,-4),C₂(0,2),
由題意得|CC₁|=|CC₂|,可知圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線,C₁C₂的中點為(0,-1),直線C₁C₂的斜率不存在,故圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線,其方程為y=-1,即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.
(2)因為m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點F(0,1)的距離相等,故點M的軌跡Q是以y=-1為準線,以點F(0,1)為焦點,頂點在原點的拋物線,=1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x²=4y.
(3)假設存在點B滿足條件.由(2)得y=x²,y'=x,所以過點B的切線的斜率為k=x₁,
切線方程為y-y₁=x₁(x-x₁).
令x=0得y=-+y₁,
令y=0得x=-+x₁.
因為點B在x²=4y上,所以y₁=,
故y=-,x=x₁,
所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
S=|x||y|=|x₁||-|=||,
所以||=,解得|x₁|=2,
所以x₁=±2.
當x₁=2時,y₁=1,當x₁=-2時,y₁=1,所以點B的坐標為(2,1)或(-2,1).