Question

已知E(2,2)是拋物線C:y²=2px上一點,經過點(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(不同于點E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點M,N.
(1)求拋物線方程及其焦點坐標;
(2)已知O為原點,求證:∠MON為定值.

Answer 1

(1) 拋物線方程為y²=2x,焦點坐標為   (2)見解析

解:(1)∵點E(2,2)在拋物線y²=2px上,
∴4=2p×2,∴p=1.
∴拋物線方程為y²=2x,焦點坐標為.

(2)顯然,直線l斜率存在,且不為0.
設l斜率為k,則l方程為y=k(x-2).
由
得ky²-2y-4k=0,
設A,B.
則y₁+y₂=,y₁·y₂=-4.
∵k_EA===.
∴EA方程為y-2=(x-2).
令x=-2,得y=2-=.
∴M.
同理可求得N.
∴·=·
=4+
=4+
=0
∴⊥.
即∠MON=90°,
∴∠MON為定值.