Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的右焦點、右頂點分別為F，A，過原點的直線與橢圓C交于點P、Q（點P在第一象限內），連結PA，QF．若，的面積是面積的3倍．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）已知M為線段PA的中點，連結QA，QM．

①求證：Q，F，M三點共線；

②記直線QP，QM，QA的斜率分別為，，，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②4

【解析】

(1)根據可得,又的面積是面積的3倍,所以,再聯立求解基本量即可.

(2) 設,再表示出,關于的表達式,化簡證明即可.

(3)由 可得,代入橢圓可得,進而求出

（1）設橢圓C的焦距為2c.

因為,所以.

設,則的面積為.

過原點的直線與橢圓C交于點P,Q,

所以,

故的面積為.

因為的面積是面積的3倍,

所以,

解得,,,

所以橢圓C的標準方程為.

（2）①因為,所以.

因為,

所以,,

故Q,F,M三點共線.

②因為,,,且,

所以

化簡得,

解得或（舍去）,

代入中,得

因為點P在第一象限內,所以,故.

因為M為線段PA的中點,所以.

因為O為線段PQ的中點,

所以,

故.