Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．

（1）證明：直線CE∥平面PAB；

（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取PA的中點F，連接EF，BF，通過證明CE∥BF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）利用已知條件轉化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角M-AB-D的余弦值即可．

（1）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，所以EFAD,EF=AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BCEF, BC=EF

∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF平面PAB，CE平面PAB，

∴直線CE平面PAB；

（2）解：四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．

取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設AD=2，則AB=BC=1，OP=，

∴∠PCO=60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，

可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，

作NQ⊥AB于Q，連接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=

=，二面角M-AB-D的余弦值為：=．