Question

如圖，

（I）求證
（II）

Answer 1

見解析

（I）,
,
又因為

（II）解法一過C作,則,如圖，
以點C為坐標原點，分別以直線CB、CA、CM、為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標系，因為AB=2，AC=1，所以
故
設平面BCP的法向量為，則 所以不妨令
設平面ABP的法向量為，則所以
不妨令
所以由題意可知二面角C-PB-A的余弦值為

（II）解法二過C作于M，因為
，。過。
由三垂線定理得.所以為二面角C-PB-A的平面角。
,
,因為
所以.
,所以二面角C-PB-A的余弦值為。
（I）本題來源于教材中的例題，主要是要表達清楚線面垂直的判定條件以及面面垂直的判定條件，學生容易漏寫條件，從而丟分。（II）解法一主要是建立空間直角坐標系來解決，注重運算，特別是求好兩個平面的法向量，還要注意最后的結論。解法二主要體現的是幾何法求解二面角，第一步是作圖找出角，第二步是證明該角為所求二面角的平面角的大小，第三步是通過計算得出該角的大小。
【考點定位】本題考查線面垂直的判斷和面面垂直的判定以及求二面角的方法。