Question

【題目】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，滿足（2a﹣c）cosB=bcosC．
（1）求B的大小；
（2）如圖，AB=AC，在直線AC的右側取點D，使得AD=2CD=4．當角D為何值時，四邊形ABCD面積最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（2a﹣c）cosB=bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosB= ，

∴B=

（2）解：∵AB=AC，B= ，

∴△ABC為等邊三角形，

∵若四邊形ABCD面積最大，

∴△ADC的面積最大，

設AC=x，在△ADC中，由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2﹣2CDADcosD=4+16﹣2×2×4cosD，

∴cosD= ，

∴sinD= ，當x2=20時，即x=2 ，﹣（20﹣x2）2+162最大，即sinD最大，最大為1，

∵S△ADC= CDADsinD=4sinD，

∴D= 時，S△ADC的面積最大，

∴當D= 時，四邊形ABCD面積最大

【解析】（1）根據正弦定理和兩角和的正弦公式即可求出B的大小，（2）若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大，根據余弦定理和同角的三角函數的關系以及二次函數的性質可得當D= 時，四邊形ABCD面積最大