Question

【題目】已知數列{an}的首項為a1=2，且滿足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．
（I）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足 ，求數列{anbn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵數列{an}滿足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．

∴a1+a2+…+an﹣1﹣an=﹣2．

相減可得：2an=an+1．

∴數列{an}是等比數列，首項為2，公比為 ．

∴an=2× = ．

（II）由（I）可得：a1a2…an= = = ．

bn= × = ．

∴anbn= =（3﹣n） ．

∴Tn=2+1× +0﹣1× ﹣…+（3﹣n） ，

=1+ +0﹣ ﹣…+（4﹣n） +（3﹣n） ．

∴ Tn=2﹣ ﹣ ﹣…﹣ +（n﹣3） =3﹣ +（n﹣3） ．

可得：Tn=2+

【解析】（I）由已知條件可得a1+a2+a3+-an=-2，與已知等式相減；（II）構造數列cn=anbn并求出cn通項，利用錯位相減法可求出Tn.
【考點精析】利用等比關系的確定和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．