Question

【題目】曲線C是平面內與兩個定點F1（﹣2，0），F2（2，0）的距離之積等于9的點的軌跡．給出下列命題： ①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于坐標軸對稱；
③若點P在曲線C上，則△F1PF2的周長有最小值10；
④若點P在曲線C上，則△F1PF2面積有最大值 ．
其中正確命題的個數為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設曲線C上任意一點的坐標為P（x，y），則[（x+2）2+y2][（x﹣2）2+y2]=81，

①把x=0，y=0代入上式得1=81，故曲線C不經過原點，故①錯誤；

②把（﹣x，y）代入上式得[（﹣x+2）2+y2][（﹣x﹣2）2+y2]=[（x﹣2）2+y2][（x+2）2+y2]=81，

∴曲線C關于y軸對稱，

把（x，﹣y）代入上式顯然也成立，故曲線C關于x軸對稱，故②正確；

③∵|PF1|+|PF2|≥2 =2 =6，

∴△F1PF2的周長為|PF1|+|PF2|+|F1F2|≥6+4=10，故③正確；

④△F1PF2面積S= =2y，∴S2=4y2，

∵[（x+2）2+y2][（x﹣2）2+y2]=81，∴y4+（2x2+8）y2+（x2﹣4）2﹣81=0，

∴y2= ﹣x2﹣4或y2=﹣ ﹣x2﹣4（舍）．

設 =t，則x2= ，

∴y2=t﹣ ﹣4=﹣ t2+t﹣ =﹣ （t﹣12）2+ ，

∴當t=12時，y2取得最大值 ，即S的最大值為2 ，故④錯誤．

故選C．