Question

三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側棱剪開，其展開圖是一個直角梯形p₁p₂p₃A，如圖．
（1）求證：PB⊥AC
（2）求PB與面ABC所成角的大小．
（3）（只理科做）求三棱錐P-ABC外接球的面積．

Answer 1

（1）證明：由展開圖知：P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C
∴BP⊥PC，BP⊥PA，∴BP⊥平面PAC
∵AC?平面PAC，∴PB⊥AC
（2）設PA=AC=AP₃=x，P₃C=y
作AE⊥CP₃，則E為CP₃的中點
∴x²-(

y

2

)2=16，且x=y+

y

2

，解得 x=3

2

，y=2

2

即PA=AC=3

2

，PC=2

2

作PO⊥平面ABC，連接BO交AC于D，連接PD
∴∠PBO為PB與面ABC所成角
∵BP⊥平面PAC，易證AC⊥BD，AC⊥PD
在△PAC中，

1

2

×2

2

×4=

1

2

×3

2

×PD
∴PD=

8

3

∴tan∠PBO=

PD

PB

=

4

3

，
∴∠PBO=arctan

4

3

（3）設△PAC的外接圓圓心為Q，球心為O．連接PQ并延長交球面于M，連BM，OQ
∵BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，∴BP∥OQ
∴平面BPM是球的一個大圓
在△BPM中，BP=2，PM=

9

2

∴BM=

22+( 9 2 )2

=

97

2

，∴球半徑R=

97

4

∴球的表面積S=4πR²=

97π

4