Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M，N分別為AA₁、BB₁的中點．
求：（1）CM與D₁N所成角的余弦值．
（2）D₁N與平面MBC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD₁分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，D-xyz，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M，N分別為AA₁、BB₁的中點
則C（0，2，0）、D₁（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）
∴

CM

=(2，-2，1)，

D1N

=(2，2，-1)
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM | D1N ||

=-

1

9

但CM與D₁N所成的角應(yīng)是＜

CM

，

D1N

＞的補角，∴CM與D₁N所成的角的余弦值為

1

9

（2）

BM

=(0，-2，1)，

BC

=(-2，0，0)則可得平面MBC的法向量

n

=(0，1，2），

D1N

與

n

夾角的余弦值cos＜

D1N

，

n

＞=0，則D₁N與平面MBC所成角的余弦值為1