Question

求證：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．

Answer 1

分析：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4=4•（5+1）ⁿ+5n-4，利用二項式定理展開，可提出因數25．

解答：證明：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4
=4•（5+1）ⁿ+5n-4
=4（

C

0 n

5n

+C

1 n

5n-1+…

+C

n-1 n

5

+C

n n

）+5n-4
=25n+25•[4（5n-2

+C

1 n

5n-3+…

+C

n-2 n

），
因為25n，25•[4（5n-2

+C

1 n

5n-3+…

+C

n-2 n

），均能被25整除，
所以2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=4•6ⁿ+5n-4能被25整除．

點評：本題考查二項式定理的應用，考查學生的推理論證能力．